Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Theo định nghĩa fích phân xác định ta có
lim
n
n
=
(2 2)
Trong đó:
2
=
ab
1
dxxxf
b
a
2
)]()([
. (2 3)
Giả sử
( ) ( )f x x
có trên
[ ]
,a b
một số hữu hạn cực trị và
là một số dơng
nào đó cho trớc. Khi đó trên
[ ]
,a b
sẽ có k đoạn riêng biệt
[ ]
,
i i
a b
( 1,2, , )=i k
sao cho
( ) ( )f x x
(với
[ ]
,
i i
x a b
,
( 1,2, , )=i k
)
Gọi
là tổng các độ dài của k đoạn nói trên.
Với n đủ lớn và
n
đủ bé, từ (2 2) ta suy ra
<
(
bé tùy ý). Từ (2 3)
suy ra
)(
2
ab
>
b
a
dxxxf
2
)]()([
=
k
i
b
a
i
i
dxxxf
1
2
)]()([
2
.
Do đó
2
( )
<
ữ
b a
.
Nghĩa là tổng độ dài
của các đoạn
[ ]
,
i i
a b
sẽ bé tùy ý.
Tóm lại: với
n
đủ bé (n khá lớn) thì trên đoạn
[ ]
,a b
(trừ tại những điểm của
những đoạn
[ ]
,
i i
a b
mà có tổng độ dài
bé tùy ý), ta có
( ) ( )f x x
<
.
Trong đó
là một số dơng tùy ý cho trớc.
Từ nhận xét trên ta rút ra những ý nghĩa thực tiễn của sai số trung bình ph-
ơng nh sau:
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Nếu sai số trung bình phơng
n
của hai hàm f(x) và
)(x
trên tập hợp n
điểm
[ ]
,a b X
(n đủ lớn) mà khá bé thì với tuyệt đại đa số giá trị của x trên
[a, b] cho sai số tuyệt đối giữa f(x) và
)(x
khá bé.
1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng
Từ ý nghĩa của sai số trung bình phơng nói trên
Ta nhận thấy nếu các giá trị
i
y
( 1,2, , )=i n
của hàm
( )f x
tại các điểm
i
x
và nếu sai số trung bình phơng
n
=
=
n
i
ii
xy
n
1
2
)]([
1
khá bé thì hàm
)(x
sẽ xấp xỉ khá tốt với hàm
( )f x
.
Cách xấp xỉ một hàm số lấy sai số trung bình phơng làm tiêu chuẩn đánh
giá nh trên gọi là xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng.
Rõ ràng: Nếu hàm
( )f x
thu đợc bằng thực nghiệm (nghĩa là
( )
i i
y f x
) thì
cách xấp xỉ nói trên đã san bằng những sai lạc tại từng điểm (nảy sinh do
những sai số ngẫu nhiên của thực nghiệm). Đó là lý do giải thích lý do vì sao
phơng pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phơng đợc sử dụng rộng rãi trong
thực tiễn.
Ta xét trờng hợp
( )
x
là phụ thuộc các tham số
0 1
, , ,
m
a a a
0 1
( ) ( ; , , , )
=
m
x x a a a
. (2 4)
Trong số những hàm
( )
x
có dạng (2 4) ta sẽ gọi hàm
0 1
( ) ( ; , , , )
=
m
x x a a a
(2 5)
là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phơng với hàm
( )f x
nếu sai số trung
bình phơng
( )
x
với
( )f x
là bé nhất. Cụ thể là
0 1
0 1
( , , , ) min ( , , , )
=
m
n n m
a a a a a a
trong đó
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
[ ]
2
0 1 0 1
1
1
( , , , ) ( ; , , , )
=
=
n
n m i m
i
a a a y x a a a
n
. (2
6)
Từ (2 6) ta nhận thấy (2 5) tơng đơng với đẳng thức:
[ ] [ ]
2 2
0 1 0 1
1 1
( ; , , , ) min ( ; , , , )
= =
=
n n
i m i m
i i
y x a a a y x a a a
. (2
7)
Từ đó việc tìm hàm xấp xỉ tốt nhất (trong số những hàm dạng (2 4) với hàm
( )f x
) sẽ đa về tìm cực tiểu của tổng bình phơng
2
1
=
n
i
i
trong đó
0 1
( ; , , , )
=
i i m
y x a a a
.
Bởi vậy phơng pháp tìm xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình còn gọi là ph-
ơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm.
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Chơng II
Các phơng pháp xấp xỉ
2.1 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng
2.1.1 Định nghĩa
Giả sử cho hệ hàm:
0 1
( ), ( ), , ( ),
m
x x x
Ta sẽ gọi hàm
( )
m
x
là đa
thức suy rộng cấp m nếu
( )
m
x
có dạng
0
( ) ( )
=
=
m
m i i
i
x a x
. (3 1)
Trong đó
0 1
, , ,
m
a a a
là các hệ số hằng số. Hệ hàm
{ ( )}
m
x
đã cho gọi là hệ
cơ bản.
2.1.2 Nội dung
Theo phần trên về tìm hàm xấp xỉ giả sử đã biết n giá trị thực nghiệm
i
y
( 1,2, , )=i n
của hàm
( )=y f x
tại các điểm tơng ứng
i
x
. Khi đó việc tìm
một đa thức suy rộng có dạng (3 1) mà xấp xỉ với hàm
( )f x
nói trên
{ }
[ ]
1 2
, , , ,
n
x x x a b
sẽ chuyển về việc tìm m+1 hệ số
i
a
trong (3 1).
Để quá trình tính toán đợc đơn giản ta xét đa thức suy rộng
( )
m
x
với cấp
m không lớn lắm. Tuy nhiên ta vẫn phải chọn n đủ lớn do đó có thể giả thiết
n
m+1. Khác với bài toán nội suy ở đây ta không cần xác định m+1 giá trị
i
a
từ n phơng trình:
( )
=
i m i
y x
( 1,2, , )=i n
(vì số phơng trình thờng nhiều
hơn số ẩn).
Ta sẽ áp dụng phơng pháp bình phơng tối thiểu để tìm đa thức suy rộng
0
( ) ( )
=
=
m
m i
i
i
x a x
xấp xỉ tốt nhất với hàm
( )f x
trên
[ ]
,a b
.
Trong (2 7) ta coi
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
0 1
( ; , , , )
m
x a a a
=
)(x
m
=
=
m
i
ii
xa
0
)(
.
Từ đó ta suy ra:
( )
0 1
, , ,
m
a a a
là điểm cực tiểu của hàm m+1 biến
0 1
( , , , )
m
F a a a
=
=
n
i
mimiii
axaxaxy
1
2
1100
])( )()([
. (3
2)
Do đó
( )
0 1
, , ,
m
a a a
là nghiệm của hệ phơng trình
0
a
F
= 0 ;
1
a
F
= 0 ; ;
m
a
F
= 0.
Hoặc dạng tơng đơng với nó
[ ] [ ]
[ ] [ ]
0 0 1 1 0
1
0 0 1 1 1
1
0 0 1 1
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0
2 ( ) ( )
n
i i i m i m i
i
n
i i i m i m i
i
i i i
y x a x a x a x
y x a x a x a x
y x a x a
=
=
=
=
[ ] [ ]
1
( ) ( ) 0
n
m i m m i
i
x a x
=
=
(3 - 3)
Gọi
r
là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là
)(
ir
x
.
Gọi
y
là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là
i
y
.
Theo định nghĩa tích vô hớng các véc tơ ta có
[ ]
1
, ( )
=
=
m
r i r i
i
y y x
;
[ ]
1
, ( ) ( )
=
=
n
r s r i s i
i
x x
(3 4)
Do đó (3 3) đợc chuyển về dạng
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
0 0 0 0 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1
, , , ,
, , , ,
, , , ,
m
m
m m m m m
a a y
a a y
a a y
+ + + =
+ + + =
+ + + =
(3 - 5)
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Ta nhận thấy (3 5) là hệ (m + 1) phơng trình đại số tuyến tính dùng để xác
định m + 1 hệ số:
0 1
, , ,
m
a a a
trong đa thức xấp xỉ
)(x
m
. Ma trận của hệ ph-
ơng trình tuyến tính (3 5) có các phần tử là
],[
ji
, do đó là một ma trận
đối xứng (dựa vào tính chất giao hoán của tích vô hớng). Ta sẽ gọi hệ phơng
trình (3 5) là hệ phơng trình chuẩn.
Định thức của hệ phơng trình chuẩn có dạng
G(
), ,,
10 m
=
],] [,][,[
],] [,][,[
],] [,][,[
10
11101
01000
mmmm
m
m
(3 6)
Ta gọi định thức
0 1
( , , , )
=
m
G
là định thức Gram của hệ véc tơ
m
, ,
10
trên tập điểm
{ }
1 2
, , ,
n
X x x x=
.
Mà ta đã biết: Nếu hàm cơ sở
)(), ,(),(
10
xxx
m
là hệ hàm độc lập tuyến
tính trên
{ }
[ ]
1 2
, , , ,
n
X x x x a b=
thì trong số những đa thức suy rộng cấp m
có dạng (3 1) luôn tồn tại một đa thức suy rộng
)()(
0
xax
i
m
i
im
=
=
. (3 1)
Là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phơng đối với hàm
( )f x
.
Ngoài ra còn có thể chứng minh khi hệ cơ sở
)(), ,(),(
10
xxx
m
là những
độc lập tuyến tính trên
{ }
[ ]
1 2
, , , ,
n
x x x a b
thì
0 1
( , , , ) 0
= >
m
G
. Nghĩa
là trong trờng hợp này hệ phơng trình chuẩn (3 5) có và duy nhất nghiệm
0 1
, , ,
m
a a a
ứng với các hệ số của đa thức (3 1) xấp xỉ tốt nhất với hàm
( )f x
(theo nghĩa trung bình phơng).
Do vậy ta có thể cho rằng hệ hàm cơ sở nghĩa là hệ hàm độc lập tuyến tính
trên đoạn
[ ]
,a b
.
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
2.1.3 Sai số của phơng pháp.
Cùng với việc tìm hàm xấp xỉ
)(x
m
cho hàm
( )f x
ta cần đánh giá sai số
hoặc độ lệch của nó đối với hàm
( )f x
. Sai số ở đây hiểu theo nghĩa trung
bình phơng. Cụ thể là ta đi tìm đại lợng
2
1
)]([
1
xy
n
n
i
mim
=
=
. (3 7)
Từ (3 1) ta có
=
n
i
imi
xy
1
2
)]([
= =
=
n
i
m
j
ijji
xay
1
2
0
)(
= [
],
0 0
= =
m
j
m
j
jjjj
ayay
= = =
=
m
j
m
j
m
j
jjjjjj
aayyay
0 0 0
],[],[
. (3
8)
Mặt khác
= == =
=
=
m
i
m
j
jjjj
m
j
m
j
jjjj
ayaaay
0 00 0
,,
=
[ ]
[ ]
==
m
j
jiji
m
i
i
aya
00
,,
. (3 9)
Kết hợp (3 9) với (3 5) ta có:
[ ]
[ ]
0,,
00
=
==
m
j
jiji
m
i
i
aya
.
Thay kết quả trên vào (3 8) ta có:
=
==
m
j
jj
n
i
imi
yayxy
01
2
,)]([
[ ]
[ ]
=
=
m
j
jj
yayy
0
,,
. (3 10)
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Thay (3 10) vào (3 7) ta có
[ ]
[ ]
=
=
m
j
jjn
yayy
n
0
,,
1
. (3 11)
Trong đó
j
a
là nghiệm của hệ phơng trình chuẩn (3 5).
2.1.4. Mở rộng trên hệ trực giao.
2.1.4.1 Định nghĩa:
Để đơn giản hóa kết quả trên thì ta định nghĩa về hệ hàm trực giao nh sau:
Hệ hàm
0 1
( ), ( ), , ( )
m
x x x
gọi là hệ trực giao trên tập
1 2
( , , , )=
n
X x x x
nếu
[ ]
[ ]
==
==
=
=
), ,1,0.(0)(,
).(0)()(,
1
2
1
mrx
srxx
n
i
irsr
n
i
isirsr
(3
12)
Số
r
mà
[ ]
=
==
n
i
irrrr
x
1
2
2
)(,
gọi là chuẩn của hàm
)(x
r
trên tập
hợp
X
.
Trong trờng hợp hệ hàm
0 1
( ), ( ), , ( )
m
x x x
trực giao mà
1
=
r
( 0,1, , )=r m
thì hệ hàm đợc gọi là hệ trực chuẩn trên tập hợp
X
.
2.1.4.2 Tiếp cận lời giải
Từ một hệ cơ sở bất kỳ
0 1
( ), ( ), , ( )
m
x x x
bao giờ cũng lập đợc một hệ
trực chuẩn tơng ứng
0 1
( ), ( ), , ( )
m
x x x
sao cho mỗi hàm của hệ trực chuẩn
là một tổ hợp tuyến tính của các hàm trong hệ cơ sở đã cho:
=
=
m
s
s
r
sr
xx
0
)(
)()(
( 0,1, , )=r m
. (3
13) Từ (3 5) và (3 12) ta nhận thấy rằng: Nếu
0 1
( ), ( ), , ( )
m
x x x
là
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
hệ trực giao thì đa thức xấp xỉ tốt nhất (3 1) của
( )f x
có các hệ số
j
a
cho
bởi công thức
[ ] [ ]
iiii
ya
,,
=
( 0,1, , )=i m
.
Hay
[ ]
[ ]
[ ]
2
,
,
,
i
i
ii
i
i
yy
a
==
( 0,1, , )=i m
. (3
14)
Từ đó ta có
[ ]
[ ]
==
=
m
i
i
i
m
i
ii
y
ya
0
2
2
0
,
,
2.1.4.3 Sai số của phơng pháp
Dựa trên (3 11) ta suy ra sai số trung bình phơng của đa thức xấp xỉ là:
[ ]
[ ]
=
=
m
j
i
i
n
y
yy
n
0
2
2
,
,
1
. (3 15)
Vì
[ ]
0
,
2
2
j
j
y
nên tổng:
[ ]
=
m
j
j
j
y
0
2
2
,
là một đại lợng đơn điệu tăng theo m.
Do đó từ (3 15) ta suy ra sai số trung bình phơng
n
sẽ giảm khi m tăng.
Tóm lại nếu cấp m của đa thức xấp xỉ (3 1) (với hệ cơ sở
0 1
( ), ( ), , ( )
m
x x x
là trực giao) càng lớn thì đa thức xấp xỉ
( )f x
càng tốt.
2.1.4.4. Chú ý
Một đặc điểm chú ý ở đây là: Trong trờng hợp chung khi cần thay đổi cấp
m của đa thức xấp xỉ (3 1) thì hệ phơng trình chuẩn (3 5) dùng để xác
định các hệ số
0 1
, , ,
m
a a a
của đa thức hoàn toàn thay đổi. Do đó quá trình
tình toán (giải hệ phơng trình chuẩn) cần làm lại từ đầu. Tuy nhiên khi hệ hàm
cơ sở là trực giao thì muốn thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
(3 1) (chẳng hạn tăng từ m lên m+1) ta chỉ cần thêm số
1+m
a
từ công thức
(3 14). Còn các hệ số
0 1
, , ,
m
a a a
đã thu đợc cho đa thức
( )
m
x
vẫn dùng
đợc cho đa thức
1
1
0
( ) ( )
+
+
=
=
m
i
m
i
i
x a x
.
Nhận xét trên rất bổ ích về mặt thực hành tính toán vì khi muốn xấp xỉ một
hàm thực nghiệm bằng một đa thức suy rộng cấp m (3 1): do khuôn khổ
của sự tính toán ta không cần chọn ngay từ đầu số m đủ lớn. Khi đó nếu hệ
hàm cơ sở
0 1
( ), ( ), , ( ),
m
x x x
là một hệ trực giao thì khi xuất phát ta có
thể chọn số m nhỏ (chẳng hạn m = 1 hoặc 2). Sau khi thực hành tính toán nếu
thấy sai số trung bình phơng tơng ứng cha đủ bé (so với yêu cầu) thì ta có thể
tăng dần số m lên và tính thêm các hệ số
i
a
bổ sung (từ công thức (3 14)).
2.2 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số
Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét