Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
4
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI
I. Phương trình trùng phương
0a,0cbxax
24
≠=++
(1)
ðặ
t t =
2
x
≥ 0 ph
ươ
ng trình (1) tr
ở
thành: at
2
+ bt + c = 0 (2)
•
PT (1) có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi (2) có ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m không âm.
•
PT (1) có
ñ
úng hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ
khi (2) có
ñ
úng m
ộ
t nghi
ệ
m d
ươ
ng.
•
PT (1) có
ñ
úng 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ
khi (2) có m
ộ
t nghi
ệ
m b
ằ
ng 0 và m
ộ
t
nghi
ệ
m d
ươ
ng.
•
PT (1) có
ñ
úng 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ
khi (2) có hai nghi
ệ
m d
ươ
ng phân
bi
ệ
t.
Ví dụ 1
. Cho ph
ươ
ng trình: x
4
+ (1-2m)x
2
+ m
2
– 1 = 0.
a)Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
b)Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
ph
ươ
ng trrình có 4 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Ví dụ 2.
Tìm m sao cho
ñồ
th
ị
hàm s
ố
y = x
4
-2(m+4)x
2
+ m
2
+ 8
c
ắ
t tr
ụ
c hoành l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i 4
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C, D v
ớ
i AB = BC = CD.
II. Phương trình chứa giá trị tuyệt ñối
1) Các dạng cơ bản:
| a | = b
±=
≥
⇔
ba
0b
| a | = | b |
ba ±=⇔
| a | ≤ b
≤
≥
⇔
22
ba
0b
| a | ≥ b
≥
≥
<
⇔
22
ba
0b
0b
| a | ≥ | b |
22
ba ≥⇔
Ví dụ 1. Giải phương trình | x
2
– 3x + 2 | - 2x = 1.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình x
2
- | 4x – 5 | < 0.
Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình | 2x – m | = x.
Ví dụ 4. Giải phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3.
Ví dụ 5. Giải và biện luận bất phương trình | 3x
2
-3x – m | ≤ | x
2
– 4x + m |.
2)Phương pháp ñồ thị:
a) Cách vẽ ñồ thị hàm số y = | f(x) | khi ñã biết ñồ thị hàm số y = f(x).
- Chia ñồ thị hàm số f(x) ra 2 phần: phần ñồ thị nằm phía trên trục hoành (1) và
phần ñồ thị nằm phía dưới trục hoành (2).
- Vẽ phần ñồ thị ñối xứng với phần ñồ thị (2) qua trục hoành ñược phần ñồ thị
(3).
- ðồ thị hàm số y = | f(x) | là ñồ thị gồm phần ñồ thị (1) và phần ñồ thị (3) vừa
vẽ.
b) ðịnh lí: Số nghiệm của phương trình g(x) = h(m) là số giao ñiểm của ñường thẳng
nằm ngang y = h(m) với ñồ thị hàm số y = g(x). Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng
chúng về một vế của phương trình rồi vẽ ñồ thị hàm số y = g(x) và ñường thẳng y = h(m) rồi áp
dụng ñịnh lí trên ñể biện luận.
Ví dụ 6. Tìm m ñể phương trình | x
2
– 1 | = m
4
– m
2
+1 có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m.
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
5
Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I.Các dạng cơ bản
Dạng 1:
)x()x(f
1n2
ϕ=
+
, n ∈ N
*
⇔
f(x) = [
)x(ϕ
]
2n+1
Dạng 2:
)x()x(f
n2
ϕ=
, n ∈ N
*
⇔
ϕ=
≥ϕ
n2
)]x([)x(f
0)x(
D
ạ
ng 3:
ϕ<
>ϕ
≥
⇔ϕ<
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f
,
ϕ≤
≥ϕ
≥
⇔ϕ≤
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(f
)x()x(f
D
ạ
ng 4:
ϕ>
≥ϕ
<ϕ
≥
⇔ϕ>
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f
,
ϕ≥
≥ϕ
≥ϕ
<
⇔ϕ≥
2
)]x([)x(f
0)x(
0)x(
0)x(f
)x()x(f
Ví dụ 1
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
1x23x2x
2
+=+−
Ví dụ 2.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x12xx
2
<−−
Ví dụ 3.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x26x5x2
2
−>−+
Ví dụ 4
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
3mxx2mx
2
−+=−
II. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỷ không cơ bản
1) Phương pháp lũy thừa hai vế:
-
ðặ
t
ñ
i
ề
u ki
ệ
n tr
ướ
c khi bi
ế
n
ñổ
i
- Ch
ỉ
ñượ
c bình ph
ươ
ng hai v
ế
c
ủ
a m
ộ
t ph
ươ
ng trình
ñể
ñượ
c ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng
(hay bình ph
ươ
ng hai v
ế
c
ủ
a m
ộ
t b
ấ
t ph
ươ
ng trình và gi
ữ
nguyên chi
ề
u)
nếu
hai v
ế
c
ủ
a chúng
không âm.
- Chú ý các phép bi
ế
n
ñổ
i c
ă
n th
ứ
c
AA
2
= .
Ví dụ 5
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
4x31x +−=+
Ví dụ 6
. Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x78x23x −+−≥+
Ví dụ 7
. Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
15x5x3 >+−
Ví dụ 8.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x1x2x ≤+−+
Ví dụ 9
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2x21x6x8x2
22
+=−+++
Ví dụ 10
.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
1x1x3x23x4x
22
−≥+−−+−
2)Phương pháp ñặt ẩn phụ:
- Nh
ữ
ng bài toán có tham s
ố
khi
ñặ
t
ẩ
n ph
ụ
ph
ả
i tìm t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a
ẩ
n m
ớ
i.
- Chú ý các h
ằ
ng
ñẳ
ng th
ứ
c
222
bab2a)ba( +±=± , )ba)(ba(ba
22
−+=− , …
Ví dụ 11
.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
x2x71x10x5
22
−−≥++
Ví dụ 12.
i
ả
i ph
ươ
ng trình
47x1x7x28x
=+−+++++
Ví dụ 13
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
4x415x42x2x
2
−+−=−++
Ví dụ 14
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
x
2x2x3
x
4
x9
2
2
2
−+
=+
Ví dụ 15
.Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình
4
x2
1
x2
x2
5
x5
++<+
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
6
Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG
I. Hệ phương trình ñối xứng loại 1
1)Khái niệm
: Là h
ệ
mà m
ỗ
i ph
ươ
ng trình không
ñổ
i khi ta thay x b
ở
i y và thay y b
ở
i x.
2)Tính chất
: N
ế
u (x
o
, y
o
) là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
thì (y
o,
x
o
) c
ũ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
.
3)Cách giải:
Bi
ế
n
ñổ
i h
ệ
ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng: H
ệ
ñ
ã cho
⇔
=
=+
Py.x
Syx
(1)
Khi
ñ
ó x, y là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
0PStt
2
=+−
(2)
N
ế
u
∆
= S
2
– 4P > 0 thì ph
ươ
ng trình (2) có hai nghi
ệ
m t
1
≠
t
2
nên h
ệ
ph
ươ
ng trình (1) có hai
nghi
ệ
m phân bi
ệ
t (t
1,
t
2
), (t
2
, t
1
).
N
ế
u
∆
= 0 thì ph
ươ
ng trình (2) có nghi
ệ
m kép t
1
= t
2
nên h
ệ
(1) có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t (t
1,
t
2
).
ð
i
ề
u ki
ệ
n
ñể
h
ệ
(1) có ít nh
ấ
t m
ộ
t c
ặ
p nghi
ệ
m (x, y) th
ỏ
a mãn x
≥
0, y
≥
0
≥
≥
≥−=∆
0P
0S
0P4S
2
Ví dụ 1
.Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
=+
=+
26yx
2yx
33
=+
=+
35yyxx
30xyyx
=++
=−−
1xyyx
3xyyx
22
Ví dụ 2.
Tìm m
ñể
h
ệ
sau có nghi
ệ
m
+−=+
=−++
6m4myx
m1y1x
2
=+++
−=++
m2)yx(2yx
6m5)2y)(2x(xy
22
II. Hệ phương trình ñối xứng loại 2
1)Khái niệm:
Là h
ệ
ph
ươ
ng trình mà trong h
ệ
ph
ươ
ng trình ta
ñổ
i vai trò x, y cho nhau
thì ph
ươ
ng trình n
ọ
tr
ở
thành ph
ươ
ng trình kia.
2)Tính chất:
N
ế
u (x
o
, y
o
) là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
thì (y
o,
x
o
) c
ũ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
.
3)Cách giải:
Tr
ừ
v
ế
v
ớ
i v
ế
hai ph
ươ
ng trình c
ủ
a h
ệ
ta
ñượ
c ph
ươ
ng trình có d
ạ
ng:
(x – y).f(x,y) = 0
⇔
x – y = 0 ho
ặ
c f(x,y) = 0.
Ví dụ 3
.Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình
=+
=+
x40yxy
y40xyx
23
23
=−
=−
22
22
x4xy
y4yx
+=
+=
x
1
xy2
y
1
yx2
2
2
Ví dụ 4
.Tìm m
ñể
h
ệ
sau có nghi
ệ
m:
=−+
=−+
m1xy2
m1yx2
+−=
+−=
mxxy
myyx
2
2
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
7
Bài 5: MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
I. Hệ vô tỷ
Ví dụ 1.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
=+
=++
4yx
28xy2yx
22
Ví dụ 2.
Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n
=−
=++
ayx
axyyx
Ví dụ 3
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
=−−+
=−++
1xyxy
2yxyx
Ví dụ 4.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
=+−
=−−
2yx2
2y2x
Ví dụ 5.
Tìm m
ñể
h
ệ
có nghi
ệ
m
=++
=++
1x1y
my1x
II. Hệ hữu tỷ
Ví dụ 6
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
=++
=+
−+
22
y
x4
yx
1
x
y2
1yx
3
22
22
Ví dụ 7
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
=−
=−
2)yx(xy
7yx
33
Ví dụ 8.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
+=+
+=+
)x1(5y1
x16yy4x
22
33
Ví dụ 9
. Tìm a
ñể
h
ệ
có nghi
ệ
m
=+++
+=−
02yxxy
)xy1(ayx
Ví dụ 10
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
=+
=−
y10)yx(x
x3)yx(y2
22
22
Ví dụ 11
.Tìm m
ñể
h
ệ
có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t:
=+−
=+
2x2yx
myx
22
Ví dụ 12.
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
=−
−=−−
180xy)yx(
11yxyx
22
22
Ví dụ 13
. Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
+=+
−=−
)yx(7yx
)yx(19yx
33
33
==========================================================
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
8
Chương 2: Phương trình lượng giác, mũ, logarit
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Phương trình lượng giác cơ bản
Khi gi
ả
i các ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác cu
ố
i cùng d
ẫ
n
ñế
n phép gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
l
ượ
ng giác c
ơ
b
ả
n. Ta c
ầ
n ghi nh
ớ
b
ả
ng sau
ñ
ây:
Ph
ươ
ng trình
ð
i
ề
u ki
ệ
n có nghi
ệ
m
ðư
a v
ề
d
ạ
ng Nghi
ệ
m
sinx = m
1m1
≤≤−
sinx = sin
α
π+α−π=
π+α=
2kx
2kx
cosx = m
1m1
≤≤−
cosx = cos
α
α±
+ k2
π
tgx = m m
ọ
i m
tgx = tg
α
α
+ k
π
cotgx = m m
ọ
i m
cotgx = cotg
α
α
+ k
π
Ở
b
ả
ng trên k nh
ậ
n m
ọ
i giá tr
ị
nguyên (
Zk
∈
) .
ðơ
n v
ị
góc th
ườ
ng dùng là radian.
ðể
thu
ậ
n l
ợ
i cho vi
ệ
c ch
ọ
n
α
ta c
ầ
n nh
ớ
giá tr
ị
c
ủ
a hàm l
ượ
ng giác t
ạ
i các góc
ñặ
c bi
ệ
t.
ðườ
ng
tròn l
ượ
ng giác s
ẽ
giúp ta nh
ớ
m
ộ
t cách rõ ràng h
ơ
n.
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
9
Ví dụ 1.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
a) sin3x =
2
2
; b) sin(2x -
5
π
) = 1; c) sin(
π
x
) = 0.
Ví dụ 2
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
a) cos2x = cos
5
π
; b) cos(3x -
3
π
) = cos(x +
2
π
); c) cosx = sin(2x +
4
π
).
Ví dụ 3
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
0)
3
8
xcos
3
(cos
2
=
π
−
π
.
Ví dụ 4.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
)xsin3cos()xsincos(
π=π
Ví dụ 5
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
1)x2(sinxcos
22
=−
II
.
Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx:
asinx + bcosx = c
(1) ,
0ba
22
≠+
Chia hai v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1) cho
22
ba +
, ta
ñượ
c:
(1)
⇔
222222
ba
c
xcos
ba
b
xsin
ba
a
+
=
+
+
+
(2)
ðặ
t
22
ba
a
+
= sin
ϕ
;
22
ba
b
+
= cos
ϕ
.
Khi
ñ
ó ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác có d
ạ
ng: cos(x -
ϕ
) =
22
ba
c
+
(3)
Ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi:
222
22
cba1
ba
c
≥+⇔≤
+
Khi
ñ
ó t
ồ
n t
ạ
i
[ ]
π∈α
;0
sao cho
22
ba
c
cos
+
=α
nên ta có:
(1)
⇔
α=ϕ−
cos)xcos(
⇔
π+α±ϕ=
2kx
;
Zk
∈
Ví dụ 6
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx.
Ví dụ 7
. Cho ph
ươ
ng trình: sinx + mcosx = 1
a)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình v
ớ
i m = - 3 .
b)
Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
Ví dụ 8
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 1xsin3xcosxsin32xcos
22
=++
Ví dụ 9
. Tìm
α
ñể
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m x
∈
IR:
2)xsin(xcos3
=α++
Ví dụ 10
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: ).x8cosx6(sin3x6cosx8sin
+=−
Ví dụ 11
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
π
∈
2
;0x
:
cos2x – msin2x = 2m – 1
Ví dụ 12
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x).
Ví dụ 13
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
0
4
1
xsinx4cos.xcosx4cos
22
=+−−
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
10
III.
Phương trình ñẳng cấp, phương trình ñối xứng ñối với sinx và cosx
1) Phương trình ñẳng cấp bậc cao ñối với sinx và cosx:
Khái niệm:
M
ộ
t ph
ươ
ng trình sau khi bi
ế
n
ñổ
i v
ề
cosx, sinx mà
ở
t
ấ
t c
ả
các s
ố
h
ạ
ng có t
ổ
ng s
ố
m
ũ
c
ủ
a cosx và c
ủ
a sinx ho
ặ
c
ñề
u là s
ố
t
ự
nhiên ch
ẵ
n ho
ặ
c
ñề
u là s
ố
t
ự
nhiên l
ẻ
thì ph
ươ
ng trình
ñ
ó
ñượ
c g
ọ
i là “
ñẳ
ng c
ấ
p”
ñố
i v
ớ
i cosx và sinx. G
ọ
i k là s
ố
l
ớ
n
nh
ấ
t trong các t
ổ
ng s
ố
m
ũ
nói trên
ñượ
c g
ọ
i là b
ậ
c c
ủ
a ph
ươ
ng trình.
Cách giải
: - Xét tr
ườ
ng h
ợ
p cosx = 0 th
ử
vào ph
ươ
ng trình
- Khi 0xcos
≠
chia hai v
ế
ph
ươ
ng trình cho cos
k
x sau
ñ
ó
ñặ
t
ẩ
n ph
ụ
t = tgx.
Ví dụ 14.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 2sin
3
x = cosx
Ví dụ 15
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: xsin2)
4
x(sin
3
=
π
+
Ví dụ 16
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m:
msin2x + cos2x + sin
2
x +m = 0.
Ví dụ 17:
Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có
ñ
úng hai nghi
ệ
m x n
ằ
m trong kho
ả
ng
ππ
−
2
;
2
:
3sin
4
x – 2(m+2)sin
2
x.cos
2
x + (1 – m
2
)cos4x = 0.
2) Phương trình ñối xứng sinx và cosx:
Khái niệm:
M
ộ
t ph
ươ
ng trình sau khi bi
ế
n
ñổ
i v
ề
cosx, sinx mà các s
ố
h
ạ
ng có
ch
ứ
a t
ổ
ng (cosx
±
sinx ) ho
ặ
c ch
ứ
a tích cosx.sinx
ñượ
c g
ọ
i là ph
ươ
ng trình
ñố
i x
ứ
ng
ñố
i
v
ớ
i cosx và sinx. Ví d
ụ
ph
ươ
ng trình:
0cxsin.xcosb)xsinx(cosa
=++±
.
Cách giải: ðặ
t t = sinx + cosx, ta có
2t ≤
. Khi
ñ
ó: sinx.cosx =
2
1t
2
−
N
ế
u
ñặ
t t = sinx - cosx, ta có
2t ≤
. Khi
ñ
ó: sinx.cosx =
2
t1
2
−
Ví dụ 18
. Cho ph
ươ
ng trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m).
a)
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình v
ớ
i m = - 1.
b)
Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m.
Ví dụ 19
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
x2sin
2
3
xcosxsin1
33
=++
Ví dụ 20.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: x4sin
2
3
x2cosx2sin1
33
=++
Ví dụ 21
. Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
ππ
∈
4
3
,
4
x
:
.mxsinxcos
33
=+
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
11
IV. Phương trình ñưa về dạng tích
Các ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác
không có d
ạ
ng nh
ư
nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình
ñ
ã trình bày
ở
các
m
ụ
c tr
ướ
c, ng
ườ
i ta th
ườ
ng ngh
ĩ
t
ớ
i phân tích chúng thành nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình c
ơ
b
ả
n.
Vi
ệ
c phân tích thành tích th
ự
c ch
ấ
t là
ñ
i tìm th
ừ
a s
ố
chung c
ủ
a các s
ố
h
ạ
ng có trong
ph
ươ
ng trình.
ðể
làm
ñượ
c
ñ
i
ề
u
ñ
ó, chúng ta c
ầ
n ph
ả
i thành th
ạ
o các công th
ứ
c l
ượ
ng giác, các
h
ằ
ng
ñẳ
ng th
ứ
c
ñạ
i s
ố
ñ
áng nh
ớ
và c
ũ
ng c
ầ
n ph
ả
i có kinh nghi
ệ
m nhìn nh
ậ
n m
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a
các s
ố
h
ạ
ng có trong ph
ươ
ng trình.
•
Th
ử
các nghi
ệ
m
ñặ
c bi
ệ
t nh
ư
1xsin ±=
,
2
1
xsin
±=
,
1xcos ±=
,
2
1
xcos
±=
và ph
ươ
ng trình có ch
ứ
a th
ừ
a s
ố
(cosx ± sinx). S
ử
d
ụ
ng
ñẳ
ng th
ứ
c sin
2
x + cos
2
x
= 1.
•
Dùng các công th
ứ
c bi
ế
n
ñổ
i nh
ư
h
ạ
b
ậ
c, bi
ế
n
ñổ
i t
ổ
ng thành tích , bi
ế
n
ñổ
i tích
thành t
ổ
ng, hàm s
ố
l
ượ
ng giác c
ủ
a hai góc có liên quan
ñặ
c bi
ệ
t. Chú
thêm m
ộ
t
s
ố
bi
ế
n
ñổ
i sau
ñ
ây:
x2sin
2
tgxgxcot =+ ,
x2gcot2tgxgxcot =−
,
x2sin
1
x2gcotgxcot =−
•
ðặ
t các nhân t
ử
chung (nhân t
ử
chung suy ra t
ừ
nghi
ệ
m
ñ
ã th
ử
ñượ
c).
Tham kh
ả
o thêm b
ả
ng h
ọ
các bi
ể
u th
ứ
c có nhân t
ử
chung.
f(x) Biểu thức chứa thừa số f(x)
sinx sin2x, tgx, tg2x,
cosx sin2x, tg2x, cotgx,
1+cosx
2
x
cos
2
,
2
x
gcot
2
, sin
2
x, tg
2
x
1-cosx
2
x
sin
2
,
2
x
tg
2
, sin
2
x, tg
2
x
1+sinx
cos
2
x, cotg
2
x, )
2
x
4
(cos
2
−
π
, )
2
x
4
(sin
2
+
π
1-sinx
cos
2
x, cotg
2
x,
)
2
x
4
(cos
2
+
π
,
)
2
x
4
(sin
2
−
π
sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx
sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx
Ví dụ 1
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 .
Ví dụ 2
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x =
2
3
Ví dụ 3.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x =
2
1
( cos2x + cos4x).
Ví dụ 4
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 2sin
3
x + cos2x + cosx = 0
Ví dụ 5
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx)
Ví dụ 6.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
x2sin1
tgx1
tgx1
+=
−
+
Ví dụ 7
.Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
−
π
=−
2
x
4
sin4x2sinx4cos.xsin
22
.
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
12
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
I. Các kết quả cơ bản
1) Hàm số mũ:
y = a
x
,
.1a0 ≠<
•
T
ậ
p xác
ñị
nh: IR.
•
T
ậ
p giá tr
ị
: IR
+
. (
ñồ
th
ị
luôn n
ằ
m phía trên tr
ụ
c hoành)
•
Khi a > 1 hàm s
ố
ñồ
ng bi
ế
n.
Khi 0 < a < 1 hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n.
•
D
ạ
ng
ñồ
th
ị
:
2) Hàm số logarit:
y = log
a
x ,
.1a0 ≠<
a) Các tính ch
ấ
t:
•
T
ậ
p xác
ñị
nh: IR
*
(x > 0 ).
•
T
ậ
p giá tr
ị
: IR
•
Khi a > 1 hàm s
ố
ñồ
ng bi
ế
n.
Khi 0 < a < 1 hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n.
•
D
ạ
ng
ñồ
th
ị
:
Chú ý:
Trong các b
ấ
t ph
ươ
ng trình m
ũ
, logarit, c
ơ
s
ố
a l
ớ
n h
ơ
n hay bé
h
ơ
n 1 quy
ế
t
ñị
nh chi
ề
u c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình. Vì v
ậ
y ph
ả
i chú ý
ñế
n chi
ề
u c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình
trong quá trình bi
ế
n
ñổ
i.
Tự ôn luyện thi ñại học môn toán
Nguyễn ðức Tuấn lớp 44C1 ðại học Thủy lợi Hà nội
13
b)Các công thức chú ý:
•
blog
a
có ngh
ĩ
a
≠<
>
⇔
1a0
0b
•
alog
blog
blog
c
c
a
=
( Công th
ứ
c
ñổ
i c
ơ
s
ố
v
ớ
i
0b >
,
1a0 ≠<
,
1c0 ≠<
).
•
blog
n
m
blog
a
m
a
n
=
( V
ớ
i b > 0 và
1a0 ≠<
)
•
|b|log.k2blog
a
k2
a
=
v
ớ
i
Zk
∈
.
II. Các phương trình, bất phương trình có dạng cơ bản
1) Phương trình mũ:
Cho
.1a0 ≠<
D
ạ
ng 1:
=
>
⇔=
blog)x(f
0b
ba
a
)x(f
D
ạ
ng 2:
ba
)x(f
<
(v
ớ
i b > 0)
>
<<
<
>
⇔
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a
a
a
D
ạ
ng 3:
ba
)x(f
>
-
N
ế
u
0b ≤
b
ấ
t ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m
ñ
úng v
ớ
i m
ọ
i x thu
ộ
c t
ậ
p xác
ñị
nh
c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình.
-
N
ế
u b > 0, khi
ñ
ó b
ấ
t ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i:
<
<<
>
>
blog)x(f
1a0
blog)x(f
1a
a
a
D
ạ
ng 4:
>
<<
<
>
⇔<
)x(g)x(f
1a0
)x(g)x(f
1a
aa
)x(g)x(f
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét