HinhOn tap HHGT trong khong gian

Ôn tập: Phương pháp tọa độ trong không gian
Ôn tập: Phương pháp tọa độ trong không gian
• Góc giữa hai đường thẳng
•
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau
• Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
° Phương trình mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng
• Thể tích khối tứ diện, diện tích
tam giác.
• Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
• Phương trình mặt cầu
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Phương trình đường thẳng
• Phương pháp tọa độ
Bài toán 1 Bài toán 2 Bài toán 3 Bài toán 4, 5
• Phương trình mp theo đoạn chắn

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a. Trên đường thẳng
vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm D sao cho AD = .
Gọi I là trung điểm của BC.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và DI.
b) Tính góc giữa hai mp(ABC) và mp(DBC).
c) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DI.
d) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
e) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD)
2
2a
Bài toán 1:

);;( CBAn =

0

Phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và
có một vectơ pháp tuyến có dạng:
≠
A(x - x
0
) + B(y - y
0
) + C(z - z
0
) = 0
n
α
M(x
0
, y
0,
z
0
)
Đònh lí: Giả sử mặt phẳng (α) có một cặp VTCP là:



=
=
)b;b;b(b
)a;a;a(a
321
321


thì mp (α) có một VTPT là:
)
bb
aa
;
bb
aa
;
bb
aa
(]b,a[c
21
21
13
13
32
32
==


n = [ a , b ]
b
a
α

[ ]
u
u,MM
),M(d
10
1


=∆
Cho đường thẳng ∆ qua điểm M
0
, có vectơ chỉ phương và
một điểm M
1
. Khoảng cách từ điểm M
1
đến đường thẳng ∆ được
tính theo công thức:
u

H
∆
M
1
M
0
u




=+++
=+++
0''''
0
DzCyBxA
DCzByAx
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d. Ta có
thể xem d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (α') lần lượt có
phương trình là: Ax + by + Cz + D = 0 và A'x + By + C'z + D = 0,
(Với A
2
+ B
2
+ C
2
≠ 0, A'
2
+ B'
2
+ C'
2
≠ 0, A : B : C ≠ A' : B' : C’).
Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng:
d
u
n '
n
α
'
α
0);;(


≠= cbau





+=
+=
+=
tczz
tbyy
taxx
0
0
0
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua
điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) có vectơ chỉ phương là:
(a
2
+ b
2
+ c
2
≠ 0) với t là tham số.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm M0(x
0
; y
0
; z
0
) và
một mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0.
Gọi d(M0; (α)) là khoảng cách từ điểm M
0
đến mặt phẳng (α).
d(M, (
α
)) = MH
n
α
M
H
222
000
0
CBA
DCzByAx
))(,M(d
++
+++
=
α

'u

'
0
M
u

[ ]
[ ]
',
.',
)',(
'
00
uu
MMuu
d


=∆∆
Cho hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau. Đường thẳng ∆ qua
điểm M
0
, có vectơ chỉ phương
. Đường thẳng ∆' qua điểm ,
có vectơ chỉ phương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆' được tính
theo công thức:
.
n
u '
u
M
0
M
0
'
∆
'
∆
α

c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−
);;( cbau =

'''
'
0
'
0
'
0
c
zz
b
yy
a
xx −
=
−
=
−
)'c;'b;'a('u =

'.uu

Cho hai đường thẳng: ∆: có VTCP
và ∆': có VTCP
. Góc ϕ giữa hai đường thẳng ∆ và ∆' được tính:
* Chú ý: ∆ ⊥ ∆' ⇔
⇔ aa' + bb' + cc' = 0
= 0
ϕ
∆
'
∆
u'
u
x
y
O
222222
'c'b'acba
'cc'bb'aa
'uu
'u.u
cos
++++
++
==


ϕ

),'C;'B;'A('n =

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)
và (α') có phương trình tổng quát lần lượt là:
(α): Ax + By + Cz + D = 0, (α'): A'x + B'y + C'z + D' = 0.
Khi đó vectơ lần lượt là VTPT của
(α) và (α'). Góc ϕ giữa hai mặt phẳng (α) và (α') được tính theo
công thức:

α
'
α
n
n'
y
x
z
O
222222
'C'B'ACBA
'CC'BB'AA
'nn
'n.n
cos
++++
++
==


ϕ
)C;B;A(n =

* Chú ý: Hai mặt phẳng vuông
góc nhau khi và chỉ khi hai vectơ
pháp tuyến vuông góc với nhau.

c
zz
b
yy
a
xx
000
−
=
−
=
−
222222
cbaCBA
CcBbAa
sin
++++
++
=
ψ
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)
và đường thẳng ∆ lần lượt có phương trình:
(α): Ax + By + Cz + D = 0, ∆:
Góc ψ giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) được tính:
* Chú ý: ∆ // (α) ⇔ Aa + Bb + Cc = 0
n
ϕ
Ψ
∆
α
y
x
z
O
(0
0
≤ ψ ≤ 90
0
)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt
cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính R có dạng:
(x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= R
2
.
Ngược lại, phương trình:
x
2

+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0
với A
2
+ B
2
+ C
2
- D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm
I(-A; -B; -C) và có bán kính R =
DCBA −++
222
.

A
C
B
D
°Thể tích khối tứ diện ABCD được tính bởi công thức:
AC].AD,AB[
6
1
V
ABCD
=
°Diện tích tam giác ABC được tính bởi công thức:
]AC,AB[
2
1
V
ABCD
=
A
C
B

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
GIẢI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN
PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vò trí của gốc O)
Bước 2: Xác đònh toạ độ các điểm có liên quan (có thể xác đònh toạ độ
tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết).
Khi xác đònh tọa độ các điểm ta có thể dựa vào:
+ Ý nghóa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục
tọa độ, mặt phẳng tọa độ).
+ Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song
song, cùng phương, thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ.
+ Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.
+ Dựa vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.

Cho hình thang vuông góc ở A và D, AB = AD = a, DC = 2a.
Trên đường vuông góc với mp(ABCD) tại D, lấy điểm S sao cho
SD = a.
a) Các mặt bên của hình chóp S.ABCD là hình gì?
b) Tính d(D, (SAC)), d(AB, SC).
c) Xác đònh tâm I và bán kính R của mặt cầu qua S, B, C, D.
Bài toán 2:

Xem chi tiết: HinhOn tap HHGT trong khong gian