mặt cầu

MẶT CẦU
MẶT CẦU
THPT Nguyễn Việt Dũng Cần Thơ
THPT Nguyễn Việt Dũng Cần Thơ

Ơn tập kiến thức cũ
1.Trong mp Oxy viết phương trình đường
tròn tâm I(a;b) và phương trình tổng qt
của đường tròn ?
2. Viết phương trình đường tròn nhận A(1;3)
B(5,5) làm đường kính.

I. Phương trình mặt cầu (S) tâm I, bán kính R
Trong khơng gian cho mặt cầu (S) có tâm I=(a;b;c) và bán
kính R>0
x
I
R
y
z
OM
= ∈ ⇔ =
⇔ − + − + − =
⇔
− + − + −
− + − =
=
+ −
Ëy ph­¬ng tr×nh:
§­ỵc gäi lµ ph­¬ng tr×nh cđa mỈt cÇu
2
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
M (x;y;z) (S) IM R
(x a) (y b) (z c) R
(x a) (y b) (z c) R
V
(x a) (y b) )(z c) R (1


− + − + − =
2 2 2 2
(x a) (y b) (z c) R
+ + =
2
x
2 2 2
y z R
Nếu I ≡ O thì phương trình (S) trở thành

Vd1. Viết phương trình mặt cầu nhận
A(1;3,0) B(5,5,6) làm đường kính.
•
Để viết phương trình
mặt cầu ta cần xác
định gì?
•
Tọa độ tâm ?
•
Bán kính ?
Tâm I : Trung điểm AB =>
I(3;4;3)
14
2
)06()35()15(
2
222
=
−+−+−
==
AB
R
=> Pt mặt cầu (S): (x-3)
2
+(y-4)
2
+(z-3)
2
= 14




II. Phương trình tổng qt của mặt cầu
II. Phương trình tổng qt của mặt cầu


(x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=R
2
(1)

x
2
-2ax+a
2
+ y
2
- 2by + b
2
+z
2
-2cz +c
2
–R
2
= 0

x
2
+y
2
+z
2
-2ax -2by -2cz +a
2
+b
2
+ c
2
–R
2
=0

x
2
+y
2
+z
2
-2ax -2by -2cz +d =0 (với d= a
2
+b
2
+ c
2
–R
2
) (2)
Do R
2
=a
2
+b
2
+c
2
-d nên nếu a
2
+b
2
+c
2
-d >0 thì (1)  (2) nên
Trong kg Oxyz phương trình tổng qt của một mặt cầu
có dạng :
x
2
+y
2
+z
2
-2ax -2by -2cz +d =0 với a
2
+b
2
+c
2
-d >0
2 2 2
= + + −
I(a;b;c)
R a b c d

vd 1 cho mặt cầu (S
1
)
ã t©m vµ b¸n kÝnh lµ:
a.I(1;2),R=5 ; b. I(1;-2;0),R= 5

c.I(-1,2;0), R=25 ; d. I(1;-2;0),R=5 ;

1
S c
( )
( )
1
S
2
2
2 2
:(x 1) (y ( 2)) z 0 5− + − − + − =
1
S
2 2 2
:(x 1) (y 2) z 5
− + + + =
Giải thích
a b
c d

vd 2 cho mặt cầu (S
2
)
2 2 2
2
S :x y z 2x 4y 1 0
c
+ + − + − =
ã t©m vµ b¸n kÝnh lµ:
a.I(1;2;0),R=2 ; b. I(1;-2;0),R=4

c.I(1,-2;0), R= 6 ; d. I(1;-2;0),R=4 ;

Giải thích
a b
c d
= −
= + + =

I (1; 2; 0)
R 1 4 1 6




Vd3 Các phương trình sau PT nào là PT của
Vd3 Các phương trình sau PT nào là PT của
mặt cầu
mặt cầu


?
?
a.
a.
x
x
2
2
+y
+y
2
2
– 4x +2y-8=0
– 4x +2y-8=0
b. 2x
b. 2x
2
2
+2y
+2y
2
2
+2z
+2z
2
2
-4x -5y -8=0
-4x -5y -8=0
c. x
c. x
2
2
+2y
+2y
2
2
+ 2z
+ 2z
2
2
– 4x +2y-8=0
– 4x +2y-8=0
d. x
d. x
2
2
+ y
+ y
2
2
+z
+z
2
2
-2x -2y +4z +6=0
-2x -2y +4z +6=0
a b c d




Bài 3 :Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
b) Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A(6 ;-2 ; 3 ),B(0 ; 1 ;6 ),C(2 ; 0 ;-1 );
D( 4 ; 1 ; 0 ) ,xác đònh toạ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).
Giải
2 2 2
(S) : x y z 4x 2y 6z 3 0
+ + − + − − =
Tâm I (2 ;-1 ; 3 ) ;
C
.
(S)
.I
B
.
. D
A
A
R 4 1 9 3 17= + + + =




R
H
A
I
α
d
gọi d=d(I,
gọi d=d(I,
α
α
)
)
d>R  (S) và (
α
α
) khơng có điểm chung
) khơng có điểm chung
III. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
III. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu




R
H
A
I
α
d
d= R  (S) và (
α
α
) Tiếp xúc nhau
) Tiếp xúc nhau
III. Vị trí tương đối giữa mặt phẳngvà mặt cầu
III. Vị trí tương đối giữa mặt phẳngvà mặt cầu




III. Vị trí tương đối giữa mặt phẳngvà mặt cầu
III. Vị trí tương đối giữa mặt phẳngvà mặt cầu
d < R  (S) và (
α
α
) giao nhau theo
) giao nhau theo
một đường tròn có phương trình là
một đường tròn có phương trình là
{ }
2 2
α
= −
( )
T©m =ChI' I
r R II'
( )
( )
∈ α ⇒ α =
I§Ỉc biƯt : I ( (
µ ®­êng trßn lín C I;R
) (S) ) C
l


α
r
R
I'
A
I
{
2 2 2
2 2 2 0
0

+ + − − − + =


+ + + =


x y z ax by cz d
Ax By Cz D




I'
•
•
I
R
r
M

+ + − + − + =

+ + + =

×m t©m vµ b¸n kÝnh ®­êng trßn :
2 2 2
T
x y z 12x 4y 6z 24 0
2x 2y z 1 0
( )
( )
( )
= + + − =
− + +
α = = =
=> =
⇒ = − =
äi (C) ã t©m S ã I ; R ta cã
I= 6;-2;3
2 2
G c I'; bk r; c
;
R 36 4 9 24 25
2.6 2.2 3 1
12
d I,( ) 4
3
9
II' 4
r 5 4 3




( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
α ∈ ⊥ α
= +


= − +


= +

α
⇔ + + − + + + + =
⇔ + =
−
⇔ =
−
=
I
×m t©m : I'
= íi
ã pt ®­êng th¼ng d:
Thay d ph­¬ng tr×nh d vµo pt ta cã
T
I' d V I d
Tac
x 6 2t
(d); y 2 2t
z 3 t
( )
2 6 2t 2 2 2t 3 t 1 0
9t 12 0
4
t
3
10 14 5
I' ( ; ; )
3 3 3
d
d
r
n
•
•
H
H
I
I
R
R
r
r
M
M

Xem chi tiết: mặt cầu